INSTRUCCIONES

Esta plantilla 3D te ayuda a simular un entorno tridimensional en Geogebra gracias a una herramienta nueva y otras tres auxiliares.

Las elipses de la esquina superior izquierda

Hay dos elipses, una roja y otra azul. En la roja puedes mover un punto (llamado XY) que permite rotar los ejes X e Y. En la azul puedes mover otro punto (llamado Z) que permite rotar el eje Z. Prueba a mover cada uno de estos puntos y observa el resultado.

Los puntos XY y Z son necesarios para determinar la situación exacta de las proyecciones de los puntos tridimensionales. Por ello se usan como parámetros de entrada en las herramientas Punto3D y Plano.

Definición de puntos tridimensionales

Lo primero que tenemos que hacer es definir las coordenadas de los puntos tridimensionales que vamos a usar. Para ello, empleamos la forma de lista. Por ejemplo:

    P = {1, 1, 1}

Observa que las coordenadas son 3 y van entre llaves. Estas coordenadas pueden ser constantes o parámetros predefinidos. Por ejemplo:

    px = 1

    P = {px, 1, 1}      (esta lista variará según varíe el valor de px)

En la plantilla de ejemplo hay tres puntos ya definidos: P, A y B.

Herramienta Punto3D

Esta herramienta proyecta un punto tridimensional en la ventana bidimensional. Su sintaxis es:

Sintaxis: Punto3D[XY, Z, Lista]

Ejemplo: Punto3D[XY, Z, P]

Observa que necesita tres parámetros de entrada. Tanto "XY" como "Z" son nombres fijos, como ya vimos. La "Lista" corresponde a la lista de coordenadas del punto.

En la plantilla de ejemplo, los puntos P', A' y B' son el resultado de proyectar los puntos P, A y B, respectivamente.

Herramienta Distancia3D

Esta herramienta calcula la distancia entre dos puntos tridimensionales. Su sintaxis es:

Sintaxis: Distancia3D[Lista, Lista]

Ejemplo: Distancia3D[A, B]

En la plantilla de ejemplo se ha calculado el valor distanciaAB que, como su nombre indica, corresponde a la distancia entre A y B.

Herramienta Angulo3D

Esta herramienta calcula el ángulo, en grados, que forman 3 puntos tridimensionales. Su sintaxis es:

Sintaxis: Angulo3D[Lista (punto inicial), Lista (punto vértice), Lista (punto final)]

Ejemplo: Angulo3D[A, P, B]

En la plantilla de ejemplo se ha calculado el valor anguloAPB que corresponde al comando anterior.

Herramienta Plano

Esta herramienta dibuja dos cuadriláteros iguales en cuyo interior se encuentran situados los tres puntos tridimensionales, a la vez que calcula un ángulo que permitirá distinguir entre ambos. Su sintaxis es:

Sintaxis: Plano[XY, Z, Lista, Lista, Lista]

Ejemplo: Plano[XY, Z, A, B, P]

En la plantilla de ejemplo se han dibujado los cuadriáteros iguales polígono1Anvés y polígono1Revés que corresponden al comando anterior. Este mismo comando también creó un ángulo (anguloPolígono1). Este ángulo permite distinguir la cara del polígono que estamos viendo, de la siguiente forma:

1) Visualiza la ventana algebraica (elige la opción correspondiente en el menú de Geogebra).

2) Haz clic derecho sobre el nombre polígono1Anvés y elige el apartado Propiedades.

3) Visualiza la pestaña Avanzado.

4) Observa que se ha establecido como condición para visualizar este cuadrilátero que el ángulo "anguloPolígono1" sea menor que 180º.

Si haces lo mismo con el otro polígono, podrás ver que la condición para que se visualice es justamente la contraria.

Notas técnicas

1. El cálculo de la proyección P' de un punto tridimensional P={x,y,z} viene dado por la fórmula:

    P' = (x sen(a) + y cos(a), -x cos(a) sen(b) + y sen(a) sen(b) + z cos(b))

    donde a y b son, respectivamente, los ángulos que forman, desde el centro de las elipses, el punto XY con la horizontal y el punto Z con la vertical.

2. Para realizar los cálculos con las Listas, se recoge cada elemento por separado empleando el comando Elemento[Lista, i].

3. El ángulo formado por tres puntos A, P, B se calcula como el arcocoseno(PA*PB/(|PA||PB|)), donde PA y PB son los vectores que unen P con A y B, el asterisco es el producto escalar y las barras verticales el módulo.

4. El ángulo que hace visible o invisible el cuadrilátero es el que une dos vértices contiguos con el baricentro del polígono.

5. La herramienta Plano tiene prefijado el rango de valores para el cálculo de los vértices del cuadrilátero para que no inunde la pantalla. Este rango va, en cada coordenada libre, de -3 a 5.